ЕГЭ информатика: задание 14

Вариант 1

запись в 9-ричной системе

Значение арифметического выражения 4·6561³¹³ + 5·3³⁵⁰ + 243⁵⁰ − 1458 записали в системе счисления с основанием 9. Определите в 9-ричной записи числа количество цифр с числовым значением 8.

Разбор

Шаг 1. Приводим к одному основанию. Все числа — степени 3, а 9 = 3²:

4·6561³¹³ = 4·3²⁵⁰⁴ = 4·9¹²⁵²
5·3³⁵⁰ = 5·3³⁵⁰ = 5·9¹⁷⁵
243⁵⁰ = 3²⁵⁰ = 9¹²⁵
− 1458 = 2·3⁶ = 2·9³

Шаг 2. Как выглядит запись. Слагаемое c·9^k — это цифра c и k нулей. Вычитание создаёт длинные серии цифр 8 (как 1000 − 1 = 999). Вручную аккуратно посчитать трудно, поэтому переводим программой: Python работает с целыми числами любой длины. В записи 1253 цифры.

Ответ: 121

Решение на Python.

x = 4 * 6561 ** 313 + 5 * 3 ** 350 + 243 ** 50 - 2 * 729 ** 1
digits = []
while x > 0:
    digits.append(x % 9)
    x //= 9
print(digits.count(8))

Вариант 2

неизвестная цифра · основание 29

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 29: 6L7LxB1E₂₉ + MxEO2SC₂₉. В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 29-ричной системы счисления. Определите наименьшее значение x, при котором значение данного выражения кратно 9. Для найденного x вычислите частное от деления значения выражения на 9 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Разбор

Шаг 1. Цифра x может быть от 0 до 28. Для каждой подставляем цифру в обе записи, переводим числа в десятичную систему (int(s, 29)) и проверяем кратность 9.

Шаг 2. Кратно 9 при x = 3, 12, 21. Наименьшее — x = 3.

Шаг 3. Значение при x = 3: 129307197285; частное 129307197285 / 9 = 14367466365.

Цифры больше 9 записаны латинскими буквами: A = 10, B = 11 и т. д. — так их понимает int(s, основание).

Ответ: 14367466365

Решение на Python.

alphabet = '0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRS'
res = []
for x in alphabet:
    v = int('6L7LxB1E'.replace('x', x), 29) + int('MxEO2SC'.replace('x', x), 29)
    if v % 9 == 0:
        res.append(v // 9)
print(res[0])

Вариант 3

выражение минус x · основание 13

Значение арифметического выражения 4·13¹⁷⁰ + 9·13¹⁶⁰ − x, где x — целое положительное число, не превышающее 1000, записали в 13-ричной системе счисления. Определите наибольшее значение x, при котором в 13-ричной записи числа, являющегося значением данного выражения, содержится ровно 159 цифр 12. В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

Разбор

Шаг 1. Запись без x. 4·13¹⁷⁰ + 9·13¹⁶⁰ — это цифра 4, затем 9 нулей, цифра 9 и ещё 160 нулей.

Шаг 2. Вычитаем x. x ≤ 1000 занимает не больше 3 цифр в 13-ричной системе. При вычитании из ...900…0 младший разряд «занимает» единицу у цифры 9: она уменьшается на 1, а нули справа превращаются в 12, кроме последних 3 разрядов, где получается запись числа 13³ − x. Поэтому количество нужных цифр зависит только от записи числа 13³ − x.

Шаг 3. Проще всего перебрать x программой от 1000 вниз и найти первое подходящее: x = 846.

Ответ: 846

Решение на Python.

for x in range(1000, 0, -1):
    v = 4 * 13 ** 170 + 9 * 13 ** 160 - x
    count = 0
    while v > 0:
        if v % 13 == 12:
            count += 1
        v //= 13
    if count == 159:
        print(x)
        break

Вариант 4

запись в 49-ричной системе

Значение арифметического выражения 16807³²⁸ + 343²⁷³ + 4·49³⁶² − 2401¹²⁷ − 7203 записали в системе счисления с основанием 49. Определите в 49-ричной записи числа количество цифр 0.

Разбор

Шаг 1. Приводим к одному основанию. Все числа — степени 7, а 49 = 7²:

16807³²⁸ = 7¹⁶⁴⁰ = 49⁸²⁰
343²⁷³ = 7⁸¹⁹ = 49⁴⁰⁹·7¹
4·49³⁶² = 4·7⁷²⁴ = 4·49³⁶²
− 2401¹²⁷ = 7⁵⁰⁸ = 49²⁵⁴
− 7203 = 3·7⁴ = 3·49²

Шаг 2. Как выглядит запись. Слагаемое c·49^k — это цифра c и k нулей. Вычитание создаёт длинные серии цифр 48 (как 1000 − 1 = 999). Вручную аккуратно посчитать трудно, поэтому переводим программой: Python работает с целыми числами любой длины. В записи 821 цифра.

Ответ: 458

Решение на Python.

x = 16807 ** 328 + 343 ** 273 + 4 * 49 ** 362 - 2401 ** 127 - 3 * 2401 ** 1
digits = []
while x > 0:
    digits.append(x % 49)
    x //= 49
print(digits.count(0))

Вариант 5

неизвестная цифра · основание 23

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 23: AxKA6₂₃ + GLDIGxI₂₃. В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 23-ричной системы счисления. Определите наибольшее значение x, при котором значение данного выражения кратно 22. Для найденного x вычислите частное от деления значения выражения на 22 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Разбор

Шаг 1. Цифра x может быть от 0 до 22. Для каждой подставляем цифру в обе записи, переводим числа в десятичную систему (int(s, 23)) и проверяем кратность 22.

Шаг 2. Кратно 22 при x = 3, 14. Наибольшее — x = 14.

Шаг 3. Значение при x = 14: 2510582734; частное 2510582734 / 22 = 114117397.

Цифры больше 9 записаны латинскими буквами: A = 10, B = 11 и т. д. — так их понимает int(s, основание).

Ответ: 114117397

Решение на Python.

alphabet = '0123456789ABCDEFGHIJKLM'
res = []
for x in alphabet:
    v = int('AxKA6'.replace('x', x), 23) + int('GLDIGxI'.replace('x', x), 23)
    if v % 22 == 0:
        res.append(v // 22)
print(res[-1])

Вариант 6

выражение минус x · основание 11

Значение арифметического выражения 9·11¹⁹⁶ + 4·11⁴⁸ − x, где x — целое положительное число, не превышающее 5000, записали в 11-ричной системе счисления. Определите наибольшее значение x, при котором в 11-ричной записи числа, являющегося значением данного выражения, содержится ровно 150 нулей. В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

Разбор

Шаг 1. Запись без x. 9·11¹⁹⁶ + 4·11⁴⁸ — это цифра 9, затем 147 нулей, цифра 4 и ещё 48 нулей.

Шаг 2. Вычитаем x. x ≤ 5000 занимает не больше 4 цифр в 11-ричной системе. При вычитании из ...400…0 младший разряд «занимает» единицу у цифры 4: она уменьшается на 1, а нули справа превращаются в 10, кроме последних 4 разрядов, где получается запись числа 11⁴ − x. Поэтому количество нужных цифр зависит только от записи числа 11⁴ − x.

Шаг 3. Проще всего перебрать x программой от 5000 вниз и найти первое подходящее: x = 3993.

Ответ: 3993

Решение на Python.

for x in range(5000, 0, -1):
    v = 9 * 11 ** 196 + 4 * 11 ** 48 - x
    count = 0
    while v > 0:
        if v % 11 == 0:
            count += 1
        v //= 11
    if count == 150:
        print(x)
        break

Вариант 7

запись в 25-ричной системе

Значение арифметического выражения 2·625³⁰⁵ + 4·125²⁵⁹ + 78125²⁹ + 3·5⁷² − 125 записали в системе счисления с основанием 25. Определите в 25-ричной записи числа количество цифр с числовым значением 24.

Разбор

Шаг 1. Приводим к одному основанию. Все числа — степени 5, а 25 = 5²:

2·625³⁰⁵ = 2·5¹²²⁰ = 2·25⁶¹⁰
4·125²⁵⁹ = 4·5⁷⁷⁷ = 4·25³⁸⁸·5¹
78125²⁹ = 5²⁰³ = 25¹⁰¹·5¹
3·5⁷² = 3·5⁷² = 3·25³⁶
− 125 = 5³ = 25¹·5¹

Шаг 2. Как выглядит запись. Слагаемое c·25^k — это цифра c и k нулей. Вычитание создаёт длинные серии цифр 24 (как 1000 − 1 = 999). Вручную аккуратно посчитать трудно, поэтому переводим программой: Python работает с целыми числами любой длины. В записи 611 цифр.

Ответ: 34

Решение на Python.

x = 2 * 625 ** 305 + 4 * 125 ** 259 + 78125 ** 29 + 3 * 5 ** 72 - 125 ** 1
digits = []
while x > 0:
    digits.append(x % 25)
    x //= 25
print(digits.count(24))

Вариант 8

неизвестная цифра · основание 21

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 21: JxA28₂₁ + 12xJ9EFD₂₁. В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 21-ричной системы счисления. Определите наименьшее значение x, при котором значение данного выражения кратно 60. Для найденного x вычислите частное от деления значения выражения на 60 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Разбор

Шаг 1. Цифра x может быть от 0 до 20. Для каждой подставляем цифру в обе записи, переводим числа в десятичную систему (int(s, 21)) и проверяем кратность 60.

Шаг 2. Кратно 60 при x = 4, 14. Наименьшее — x = 4.

Шаг 3. Значение при x = 4: 1996478820; частное 1996478820 / 60 = 33274647.

Цифры больше 9 записаны латинскими буквами: A = 10, B = 11 и т. д. — так их понимает int(s, основание).

Ответ: 33274647

Решение на Python.

alphabet = '0123456789ABCDEFGHIJK'
res = []
for x in alphabet:
    v = int('JxA28'.replace('x', x), 21) + int('12xJ9EFD'.replace('x', x), 21)
    if v % 60 == 0:
        res.append(v // 60)
print(res[0])

Вариант 9

запись в 16-ричной системе

Значение арифметического выражения 3·128¹¹²² + 32³⁰² + 5·256¹¹⁴ + 4²⁹ − 16 записали в системе счисления с основанием 16. Определите в 16-ричной записи числа сумму числовых значений всех цифр.

Разбор

Шаг 1. Приводим к одному основанию. Все числа — степени 2, а 16 = 2⁴:

3·128¹¹²² = 3·2⁷⁸⁵⁴ = 3·16¹⁹⁶³·2²
32³⁰² = 2¹⁵¹⁰ = 16³⁷⁷·2²
5·256¹¹⁴ = 5·2⁹¹² = 5·16²²⁸
4²⁹ = 2⁵⁸ = 16¹⁴·2²
− 16 = 2·2³ = 2·16⁰·2³

Шаг 2. Как выглядит запись. Слагаемое c·16^k — это цифра c и k нулей. Вычитание создаёт длинные серии цифр 15 (как 1000 − 1 = 999). Вручную аккуратно посчитать трудно, поэтому переводим программой: Python работает с целыми числами любой длины. В записи 1964 цифры.

Ответ: 219

Решение на Python.

x = 3 * 128 ** 1122 + 32 ** 302 + 5 * 256 ** 114 + 4 ** 29 - 2 * 8 ** 1
digits = []
while x > 0:
    digits.append(x % 16)
    x //= 16
print(sum(digits))

Вариант 10

выражение минус x · основание 5

Значение арифметического выражения 1·5¹⁰⁵ + 4·5⁶⁶ − x, где x — целое положительное число, не превышающее 3000, записали в 5-ричной системе счисления. Определите наибольшее значение x, при котором в 5-ричной записи числа, являющегося значением данного выражения, содержится ровно 64 цифр 4. В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

Разбор

Шаг 1. Запись без x. 1·5¹⁰⁵ + 4·5⁶⁶ — это цифра 1, затем 38 нулей, цифра 4 и ещё 66 нулей.

Шаг 2. Вычитаем x. x ≤ 3000 занимает не больше 5 цифр в 5-ричной системе. При вычитании из ...400…0 младший разряд «занимает» единицу у цифры 4: она уменьшается на 1, а нули справа превращаются в 4, кроме последних 5 разрядов, где получается запись числа 5⁵ − x. Поэтому количество нужных цифр зависит только от записи числа 5⁵ − x.

Шаг 3. Проще всего перебрать x программой от 3000 вниз и найти первое подходящее: x = 2876.

Ответ: 2876

Решение на Python.

for x in range(3000, 0, -1):
    v = 1 * 5 ** 105 + 4 * 5 ** 66 - x
    count = 0
    while v > 0:
        if v % 5 == 4:
            count += 1
        v //= 5
    if count == 64:
        print(x)
        break

Системы счисления: большие выражения

Что нужно знать

Python

Типичные ошибки

Разобранные варианты

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

Вариант 7

Вариант 8

Вариант 9

Вариант 10

Для самостоятельного решения

Вариант 11

Вариант 12

Вариант 13

Вариант 14

Вариант 15