Теория игр: Ваня выигрывает первым ходом

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
– убрать из кучи 1 камень;
– убрать из кучи 4 камня;
– уменьшить количество камней в куче в 3 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).
Например, из кучи в 40 камней за один ход можно получить кучу из 39, 36, 13 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 20. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 20 или менее камней. В начальный момент в куче было S камней, S ≥ 21.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

def f(s, m):
    if s <= 20:
        return m % 2 == 0
    if m == 0:
        return False
    h = [f(x, m - 1) for x in (s - 1, s - 4, s // 3)]
    return any(h) if m % 2 != 0 else all(h)

print(min(s for s in range(21, 420) if f(s, 2)))

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
– добавить в кучу 1 камень;
– добавить в кучу 4 камня;
– увеличить количество камней в куче в 3 раза.
Например, из кучи в 10 камней за один ход можно получить кучу из 11, 14, 30 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 98. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 98 или более камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 97.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

def f(s, m):
    if s >= 98:
        return m % 2 == 0
    if m == 0:
        return False
    h = [f(x, m - 1) for x in (s + 1, s + 4, s * 3)]
    return any(h) if m % 2 != 0 else all(h)

print(min(s for s in range(1, 98) if f(s, 2)))

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
– добавить в одну из куч 1 камень;
– увеличить количество камней в одной из куч в 3 раза.
Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой — 7; такую позицию обозначим (10, 7). За один ход из неё можно получить любую из позиций: (10, 8), (10, 21), (11, 7), (30, 7). Игра завершается, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 78. Победителем считается игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в первой куче было 5 камней, во второй — S камней, 1 ≤ S ≤ 72.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, при котором такая ситуация возможна.

def f(a, b, m):
    if a + b >= 78:
        return m % 2 == 0
    if m == 0:
        return False
    h = [f(x, y, m - 1) for x, y in ((a + 1, b), (a * 3, b), (a, b + 1), (a, b * 3))]
    return any(h)              # неудачный ход Пети: достаточно одного хода

print(min(s for s in range(1, 73) if f(5, s, 2)))

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
– добавить в кучу 1 камень;
– добавить в кучу 5 камней;
– увеличить количество камней в куче в 2 раза.
Например, из кучи в 10 камней за один ход можно получить кучу из 11, 15, 20 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 67. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 67 или более камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 66.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

def f(s, m):
    if s >= 67:
        return m % 2 == 0
    if m == 0:
        return False
    h = [f(x, m - 1) for x in (s + 1, s + 5, s * 2)]
    return any(h) if m % 2 != 0 else all(h)

print(min(s for s in range(1, 67) if f(s, 2)))

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
– убрать из кучи 2 камня;
– убрать из кучи 7 камней;
– уменьшить количество камней в куче в 3 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).
Например, из кучи в 45 камней за один ход можно получить кучу из 43, 38, 15 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 25. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 25 или менее камней. В начальный момент в куче было S камней, S ≥ 26.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, при котором такая ситуация возможна.

def f(s, m):
    if s <= 25:
        return m % 2 == 0
    if m == 0:
        return False
    h = [f(x, m - 1) for x in (s - 2, s - 7, s // 3)]
    return any(h)              # неудачный ход Пети: достаточно одного хода

print(min(s for s in range(26, 425) if f(s, 2)))

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
– добавить в одну из куч 1 камень;
– увеличить количество камней в одной из куч в 2 раза.
Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой — 7; такую позицию обозначим (10, 7). За один ход из неё можно получить любую из позиций: (10, 8), (10, 14), (11, 7), (20, 7). Игра завершается, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 66. Победителем считается игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в первой куче было 9 камней, во второй — S камней, 1 ≤ S ≤ 56.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

def f(a, b, m):
    if a + b >= 66:
        return m % 2 == 0
    if m == 0:
        return False
    h = [f(x, y, m - 1) for x, y in ((a + 1, b), (a * 2, b), (a, b + 1), (a, b * 2))]
    return any(h) if m % 2 != 0 else all(h)

print(min(s for s in range(1, 57) if f(9, s, 2)))

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
– убрать из кучи 2 камня;
– убрать из кучи 6 камней;
– уменьшить количество камней в куче в 3 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).
Например, из кучи в 50 камней за один ход можно получить кучу из 48, 44, 16 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 30. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 30 или менее камней. В начальный момент в куче было S камней, S ≥ 31.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

def f(s, m):
    if s <= 30:
        return m % 2 == 0
    if m == 0:
        return False
    h = [f(x, m - 1) for x in (s - 2, s - 6, s // 3)]
    return any(h) if m % 2 != 0 else all(h)

print(min(s for s in range(31, 430) if f(s, 2)))

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
– добавить в кучу 1 камень;
– добавить в кучу 4 камня;
– увеличить количество камней в куче в 3 раза.
Например, из кучи в 10 камней за один ход можно получить кучу из 11, 14, 30 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 116. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 116 или более камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 115.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, при котором такая ситуация возможна.

def f(s, m):
    if s >= 116:
        return m % 2 == 0
    if m == 0:
        return False
    h = [f(x, m - 1) for x in (s + 1, s + 4, s * 3)]
    return any(h)              # неудачный ход Пети: достаточно одного хода

print(min(s for s in range(1, 116) if f(s, 2)))

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
– добавить в одну из куч 1 камень;
– увеличить количество камней в одной из куч в 2 раза.
Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой — 7; такую позицию обозначим (10, 7). За один ход из неё можно получить любую из позиций: (10, 8), (10, 14), (11, 7), (20, 7). Игра завершается, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 41. Победителем считается игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в первой куче было 8 камней, во второй — S камней, 1 ≤ S ≤ 32.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

def f(a, b, m):
    if a + b >= 41:
        return m % 2 == 0
    if m == 0:
        return False
    h = [f(x, y, m - 1) for x, y in ((a + 1, b), (a * 2, b), (a, b + 1), (a, b * 2))]
    return any(h) if m % 2 != 0 else all(h)

print(min(s for s in range(1, 33) if f(8, s, 2)))

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
– убрать из кучи 1 камень;
– убрать из кучи 6 камней;
– уменьшить количество камней в куче в 3 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).
Например, из кучи в 40 камней за один ход можно получить кучу из 39, 34, 13 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 20. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 20 или менее камней. В начальный момент в куче было S камней, S ≥ 21.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

def f(s, m):
    if s <= 20:
        return m % 2 == 0
    if m == 0:
        return False
    h = [f(x, m - 1) for x in (s - 1, s - 6, s // 3)]
    return any(h) if m % 2 != 0 else all(h)

print(min(s for s in range(21, 420) if f(s, 2)))

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
– добавить в кучу 1 камень;
– добавить в кучу 3 камня;
– увеличить количество камней в куче в 2 раза.
Например, из кучи в 10 камней за один ход можно получить кучу из 11, 13, 20 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 89. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 89 или более камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 88.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, при котором такая ситуация возможна.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
– убрать из кучи 1 камень;
– убрать из кучи 7 камней;
– уменьшить количество камней в куче в 4 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).
Например, из кучи в 35 камней за один ход можно получить кучу из 34, 28, 8 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 15. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 15 или менее камней. В начальный момент в куче было S камней, S ≥ 16.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
– добавить в одну из куч 1 камень;
– увеличить количество камней в одной из куч в 2 раза.
Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой — 7; такую позицию обозначим (10, 7). За один ход из неё можно получить любую из позиций: (10, 8), (10, 14), (11, 7), (20, 7). Игра завершается, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 51. Победителем считается игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в первой куче было 8 камней, во второй — S камней, 1 ≤ S ≤ 42.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
– добавить в кучу 1 камень;
– добавить в кучу 5 камней;
– увеличить количество камней в куче в 3 раза.
Например, из кучи в 10 камней за один ход можно получить кучу из 11, 15, 30 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 34. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 34 или более камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 33.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, при котором такая ситуация возможна.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
– убрать из кучи 1 камень;
– убрать из кучи 7 камней;
– уменьшить количество камней в куче в 2 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).
Например, из кучи в 50 камней за один ход можно получить кучу из 49, 43, 25 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 30. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 30 или менее камней. В начальный момент в куче было S камней, S ≥ 31.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.