ОГЭ по математике · задание 25

Сложная геометрическая задача (часть 2)

Задачи повышенной сложности: вписанная окружность и параллелограмм, площади частей трапеции, окружность через две вершины треугольника.

Полезные факты

  • Площадь треугольника: S = p·r (p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности).
  • Отрезки касательных из одной вершины равны.
  • Секущие из одной точки: BK · BA = BE · BC.
  • Треугольники при диагоналях трапеции: S = (√S₁ + √S₂)².

Как решать

  1. Сделайте аккуратный чертёж и отметьте всё известное.
  2. Найдите ключевое равенство (площадь двумя способами, подобие).
  3. Обоснуйте каждый шаг — это задание с развёрнутым ответом.

Критерии

  • 2 балла — ход решения верный, все шаги правильные, получен верный ответ.
  • 1 балл — решение в целом верное, но есть недочёты или вычислительная ошибка.

Разобранные варианты

Сначала реши сам на бумаге, потом сравни с разбором и критериями.

Вариант 1

параллелограмм и вписанная окружность

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 15, 11 и 9. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

ABCDO
Разбор

Пусть вписанная в треугольник ABC окружность касается AC в точке K и BC в точке L; H — проекция O на прямую AD. Тогда OK = OL = 9 (радиус), точки H, O, L лежат на одной прямой, перпендикулярной BC, и HL = 11 + 9 = 20 — высота параллелограмма.

Из прямоугольного треугольника AOK: AK = √(15² − 9²) = 12.

Пусть BC = x, p — полупериметр треугольника ABC. Отрезки касательных: p = AK + BC = 12 + x. Площадь треугольника двумя способами: ½·x·20 = 9·(12 + x), откуда x = 108.

S(ABCD) = 2·S(ABC) = 2·9·(12 + 108) = 2160.

Содержание критерияБаллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ2
Решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Ответ: 2160

Вариант 2

трапеция и площади

Диагонали трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O. Площади треугольников BOC и AOD равны 16 и 100. Найдите площадь трапеции.

ABCDO
Разбор

Треугольники BOC и DOA подобны (углы при основаниях — накрест лежащие), коэффициент подобия k = √(16/100) = 0,4, то есть BO : OD = CO : OA = 2 : 5.

Треугольники AOB и AOD имеют общую высоту из A, поэтому S(AOB) : S(AOD) = BO : OD, S(AOB) = 100 · 2/5 = 40. Аналогично S(COD) = 40.

S = 16 + 100 + 2·40 = 196. (Короче: S = (√S₁ + √S₂)² = (4 + 10)² = 196.)

Содержание критерияБаллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ2
Решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Ответ: 196

Вариант 3

окружность через две вершины

Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC и пересекает его стороны AB и BC в точках K и E соответственно. Найдите AC, если BK = 15, BC = 30, KE = 7.

ABCKE
Разбор

Четырёхугольник AKEC вписан в окружность, поэтому ∠BKE = 180° − ∠AKE = ∠ACE = ∠BCA. Угол B общий, значит, треугольники BKE и BCA подобны.

KE / CA = BK / BC, откуда AC = KE · BC / BK = 7 · 30 / 15 = 14.

Содержание критерияБаллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ2
Решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Ответ: 14

Вариант 4

параллелограмм и вписанная окружность

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 10, 8 и 6. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

ABCDO
Разбор

Пусть вписанная в треугольник ABC окружность касается AC в точке K и BC в точке L; H — проекция O на прямую AD. Тогда OK = OL = 6 (радиус), точки H, O, L лежат на одной прямой, перпендикулярной BC, и HL = 8 + 6 = 14 — высота параллелограмма.

Из прямоугольного треугольника AOK: AK = √(10² − 6²) = 8.

Пусть BC = x, p — полупериметр треугольника ABC. Отрезки касательных: p = AK + BC = 8 + x. Площадь треугольника двумя способами: ½·x·14 = 6·(8 + x), откуда x = 48.

S(ABCD) = 2·S(ABC) = 2·6·(8 + 48) = 672.

Содержание критерияБаллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ2
Решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Ответ: 672

Вариант 5

трапеция и площади

Диагонали трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O. Площади треугольников BOC и AOD равны 121 и 4. Найдите площадь трапеции.

ABCDO
Разбор

Треугольники BOC и DOA подобны (углы при основаниях — накрест лежащие), коэффициент подобия k = √(121/4) = 5,5, то есть BO : OD = CO : OA = 11 : 2.

Треугольники AOB и AOD имеют общую высоту из A, поэтому S(AOB) : S(AOD) = BO : OD, S(AOB) = 4 · 11/2 = 22. Аналогично S(COD) = 22.

S = 121 + 4 + 2·22 = 169. (Короче: S = (√S₁ + √S₂)² = (11 + 2)² = 169.)

Содержание критерияБаллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ2
Решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Ответ: 169

Вариант 6

окружность через две вершины

Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC и пересекает его стороны AB и BC в точках K и E соответственно. Найдите AC, если BK = 9, BC = 18, KE = 3.

ABCKE
Разбор

Четырёхугольник AKEC вписан в окружность, поэтому ∠BKE = 180° − ∠AKE = ∠ACE = ∠BCA. Угол B общий, значит, треугольники BKE и BCA подобны.

KE / CA = BK / BC, откуда AC = KE · BC / BK = 3 · 18 / 9 = 6.

Содержание критерияБаллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ2
Решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Ответ: 6

Вариант 7

параллелограмм и вписанная окружность

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 17, 17 и 15. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

ABCDO
Разбор

Пусть вписанная в треугольник ABC окружность касается AC в точке K и BC в точке L; H — проекция O на прямую AD. Тогда OK = OL = 15 (радиус), точки H, O, L лежат на одной прямой, перпендикулярной BC, и HL = 17 + 15 = 32 — высота параллелограмма.

Из прямоугольного треугольника AOK: AK = √(17² − 15²) = 8.

Пусть BC = x, p — полупериметр треугольника ABC. Отрезки касательных: p = AK + BC = 8 + x. Площадь треугольника двумя способами: ½·x·32 = 15·(8 + x), откуда x = 120.

S(ABCD) = 2·S(ABC) = 2·15·(8 + 120) = 3840.

Содержание критерияБаллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ2
Решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Ответ: 3840

Вариант 8

окружность через две вершины

Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC и пересекает его стороны AB и BC в точках K и E соответственно. Найдите EC, если BK = 9, AK = 7, BE = 8.

ABCKE
Разбор

По свойству секущих, проведённых из точки B: BK · BA = BE · BC.

BA = 9 + 7 = 16; 9 · 16 = 8 · BC, BC = 18; EC = BC − BE = 18 − 8 = 10.

Другой путь — подобие треугольников BKE и BCA (угол B общий, ∠BKE = ∠BCA, так как четырёхугольник AKEC вписан).

Содержание критерияБаллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ2
Решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Ответ: 10

Вариант 9

трапеция и площади

Диагонали трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O. Площади треугольников BOC и AOD равны 324 и 36. Найдите площадь трапеции.

ABCDO
Разбор

Треугольники BOC и DOA подобны (углы при основаниях — накрест лежащие), коэффициент подобия k = √(324/36) = 3, то есть BO : OD = CO : OA = 6 : 2.

Треугольники AOB и AOD имеют общую высоту из A, поэтому S(AOB) : S(AOD) = BO : OD, S(AOB) = 36 · 6/2 = 108. Аналогично S(COD) = 108.

S = 324 + 36 + 2·108 = 576. (Короче: S = (√S₁ + √S₂)² = (18 + 6)² = 576.)

Содержание критерияБаллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ2
Решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Ответ: 576

Вариант 10

параллелограмм и вписанная окружность

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 13, 10 и 5. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

ABCDO
Разбор

Пусть вписанная в треугольник ABC окружность касается AC в точке K и BC в точке L; H — проекция O на прямую AD. Тогда OK = OL = 5 (радиус), точки H, O, L лежат на одной прямой, перпендикулярной BC, и HL = 10 + 5 = 15 — высота параллелограмма.

Из прямоугольного треугольника AOK: AK = √(13² − 5²) = 12.

Пусть BC = x, p — полупериметр треугольника ABC. Отрезки касательных: p = AK + BC = 12 + x. Площадь треугольника двумя способами: ½·x·15 = 5·(12 + x), откуда x = 24.

S(ABCD) = 2·S(ABC) = 2·5·(12 + 24) = 360.

Содержание критерияБаллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ2
Решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Ответ: 360

Для самостоятельного решения

Варианты 11–15 без разборов. Ответ можно проверить кнопкой.

Вариант 11

окружность через две вершины

Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC и пересекает его стороны AB и BC в точках K и E соответственно. Найдите AC, если BK = 5, BC = 20, KE = 9.

ABCKE

Вариант 12

трапеция и площади

Диагонали трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O. Площади треугольников BOC и AOD равны 49 и 4. Найдите площадь трапеции.

ABCDO

Вариант 13

параллелограмм и вписанная окружность

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 13, 9 и 5. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

ABCDO

Вариант 14

окружность через две вершины

Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC и пересекает его стороны AB и BC в точках K и E соответственно. Найдите EC, если BK = 4, AK = 13, BE = 2.

ABCKE

Вариант 15

трапеция и площади

Диагонали трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O. Площади треугольников BOC и AOD равны 729 и 576. Найдите площадь трапеции.

ABCDO