Нужно доказать геометрическое утверждение. На странице — 15 разных задач с чертежом, образцом доказательства и критериями оценивания.
Как писать доказательство
Начните с того, что дано, и двигайтесь к тому, что нужно доказать.
Каждый шаг подтверждайте ссылкой: «как накрест лежащие», «по свойству средней линии».
Частые идеи
Площади треугольников с общей высотой относятся как основания.
Параллельные прямые дают равные углы, равнобедренные треугольники и подобие.
Равные вписанные углы ⇒ точки на одной окружности.
Критерии
2 балла — доказательство верное, все шаги обоснованы.
1 балл — в целом верно, но есть несущественные недостатки.
Разобранные варианты
Сначала попробуй доказать сам, потом открой образец.
Вариант 1
доказательство
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади трапеции.
Это задание на доказательство: сравните своё рассуждение с образцом и критериями.
Образец доказательства
Проведём через точку E высоту трапеции H₁H₂ (H₁ на BC, H₂ на AD). По теореме Фалеса средняя линия делит высоту пополам: EH₁ = EH₂ = h/2, где h — высота трапеции. Тогда S(BEC) + S(AED) = ½·BC·h/2 + ½·AD·h/2 = (BC + AD)/2 · h/2. Площадь трапеции равна (BC + AD)/2 · h, то есть вдвое больше найденной суммы.
Содержание критерия
Баллы
Доказательство верное, все шаги обоснованы
2
Доказательство в целом верное, но содержит несущественные недостатки
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
Вариант 2
доказательство
Точка E — середина боковой стороны CD трапеции ABCD с основаниями AD и BC. Докажите, что площадь треугольника ABE равна половине площади трапеции.
Это задание на доказательство: сравните своё рассуждение с образцом и критериями.
Образец доказательства
Пусть h — высота трапеции. Расстояния от E до прямых BC и AD равны h/2 (E — середина CD). Тогда S(BCE) + S(ADE) = ½·BC·h/2 + ½·AD·h/2 = ½·(BC + AD)/2·h = ½·S(ABCD). Значит, S(ABE) = S(ABCD) − (S(BCE) + S(ADE)) = ½·S(ABCD).
Содержание критерия
Баллы
Доказательство верное, все шаги обоснованы
2
Доказательство в целом верное, но содержит несущественные недостатки
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
Вариант 3
доказательство
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Докажите, что ∠AFB = 90°.
Это задание на доказательство: сравните своё рассуждение с образцом и критериями.
Образец доказательства
Углы A и B — односторонние при параллельных AD и BC и секущей AB, поэтому ∠A + ∠B = 180°. Биссектрисы делят их пополам: ∠FAB + ∠FBA = ½(∠A + ∠B) = 90°. В треугольнике AFB ∠AFB = 180° − 90° = 90°.
Содержание критерия
Баллы
Доказательство верное, все шаги обоснованы
2
Доказательство в целом верное, но содержит несущественные недостатки
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
Вариант 4
доказательство
В параллелограмме ABCD сторона AD вдвое больше стороны AB. Биссектриса угла B пересекает сторону AD в точке K. Докажите, что K — середина AD и CK — биссектриса угла C.
Это задание на доказательство: сравните своё рассуждение с образцом и критериями.
Образец доказательства
∠AKB = ∠KBC (накрест лежащие при AD ∥ BC), ∠KBC = ∠ABK (BK — биссектриса), значит, треугольник ABK равнобедренный и AK = AB = ½AD. Поэтому K — середина AD, и KD = ½AD = CD. Треугольник KDC равнобедренный: ∠DKC = ∠DCK, а ∠DKC = ∠KCB (накрест лежащие). Значит, ∠DCK = ∠KCB, и CK — биссектриса угла C.
Содержание критерия
Баллы
Доказательство верное, все шаги обоснованы
2
Доказательство в целом верное, но содержит несущественные недостатки
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
Вариант 5
доказательство
Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Докажите, что четырёхугольник ABCD — прямоугольник.
Это задание на доказательство: сравните своё рассуждение с образцом и критериями.
Образец доказательства
Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD точкой пересечения O делятся пополам (OA = OC = OB = OD — радиусы), значит, ABCD — параллелограмм. Кроме того, AC = BD (два диаметра), а параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник.
Содержание критерия
Баллы
Доказательство верное, все шаги обоснованы
2
Доказательство в целом верное, но содержит несущественные недостатки
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
Вариант 6
доказательство
Точки K, L, M, N — середины сторон AB, BC, CD и DA выпуклого четырёхугольника ABCD. Докажите, что KLMN — параллелограмм.
Это задание на доказательство: сравните своё рассуждение с образцом и критериями.
Образец доказательства
KL — средняя линия треугольника ABC, поэтому KL ∥ AC и KL = ½AC. NM — средняя линия треугольника ADC, поэтому NM ∥ AC и NM = ½AC. Значит, KL ∥ NM и KL = NM, и четырёхугольник KLMN — параллелограмм (по признаку: две стороны равны и параллельны).
Содержание критерия
Баллы
Доказательство верное, все шаги обоснованы
2
Доказательство в целом верное, но содержит несущественные недостатки
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
Вариант 7
доказательство
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что ∠BA₁C₁ = ∠BAC.
Это задание на доказательство: сравните своё рассуждение с образцом и критериями.
Образец доказательства
Углы AA₁C и AC₁C прямые и опираются на отрезок AC, поэтому точки A₁ и C₁ лежат на окружности с диаметром AC. Во вписанном четырёхугольнике AC₁A₁C сумма противоположных углов ∠C₁A₁C + ∠C₁AC = 180°. Тогда ∠BA₁C₁ = 180° − ∠C₁A₁C = ∠C₁AC = ∠BAC.
Содержание критерия
Баллы
Доказательство верное, все шаги обоснованы
2
Доказательство в целом верное, но содержит несущественные недостатки
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
Вариант 8
доказательство
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC тоже равны.
Это задание на доказательство: сравните своё рассуждение с образцом и критериями.
Образец доказательства
Точки B и C лежат по одну сторону от прямой AD и из них отрезок AD виден под равными углами (∠ABD = ∠ACD). Значит, точки A, B, C, D лежат на одной окружности. Углы DAC и DBC вписанные и опираются на одну дугу DC, поэтому они равны.
Содержание критерия
Баллы
Доказательство верное, все шаги обоснованы
2
Доказательство в целом верное, но содержит несущественные недостатки
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
Вариант 9
доказательство
В параллелограмме ABCD сторона AD вдвое больше стороны CD, точка N — середина AD. Докажите, что CN — биссектриса угла BCD.
Это задание на доказательство: сравните своё рассуждение с образцом и критериями.
Образец доказательства
ND = ½AD = CD, поэтому треугольник NDC равнобедренный и ∠DNC = ∠DCN. Углы DNC и NCB равны как накрест лежащие при параллельных AD и BC и секущей CN. Значит, ∠DCN = ∠NCB, и CN — биссектриса угла BCD.
Содержание критерия
Баллы
Доказательство верное, все шаги обоснованы
2
Доказательство в целом верное, но содержит несущественные недостатки
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
Вариант 10
доказательство
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведены медианы AM и CN к боковым сторонам. Докажите, что AM = CN.
Это задание на доказательство: сравните своё рассуждение с образцом и критериями.
Образец доказательства
AN = ½AB, CM = ½CB, а AB = CB, поэтому AN = CM. Углы при основании равны: ∠NAC = ∠MCA. AC — общая сторона. Треугольники ANC и CMA равны по двум сторонам и углу между ними, значит, CN = AM.
Содержание критерия
Баллы
Доказательство верное, все шаги обоснованы
2
Доказательство в целом верное, но содержит несущественные недостатки
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
Для самостоятельного решения
Задачи 11–15 без образцов — попробуйте доказать самостоятельно.
Вариант 11
доказательство
Окружности с центрами O₁ и O₂ пересекаются в точках A и B. Докажите, что прямая O₁O₂ перпендикулярна AB.
Это задание на доказательство: сравните своё рассуждение с образцом и критериями.
Вариант 12
доказательство
На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка E. Докажите, что площадь треугольника AED равна половине площади параллелограмма.
Это задание на доказательство: сравните своё рассуждение с образцом и критериями.
Вариант 13
доказательство
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
Это задание на доказательство: сравните своё рассуждение с образцом и критериями.
Вариант 14
доказательство
Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников AOB и BOC равны.
Это задание на доказательство: сравните своё рассуждение с образцом и критериями.
Вариант 15
доказательство
AM — медиана треугольника ABC. Докажите, что площади треугольников ABM и ACM равны.
Это задание на доказательство: сравните своё рассуждение с образцом и критериями.