ОГЭ по математике · задание 23

Геометрическая задача на вычисление (часть 2)

Нужно найти длину или периметр с полным обоснованием: подобие, свойства параллелограмма и прямоугольного треугольника.

Что писать в решении

  • Каждое утверждение обосновывайте: «как накрест лежащие», «по двум углам», «AK — биссектриса».
  • Решение без обоснования подобия или равенства оценивается ниже.

Частые идеи

  • Параллельные прямые → равные углы → подобные треугольники.
  • Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник.
  • Высота к гипотенузе: h = ab / c.

Критерии

  • 2 балла — верный ход решения, все шаги правильные, верный ответ.
  • 1 балл — решение в целом верное, но с несущественными недочётами или вычислительной ошибкой.

Разобранные варианты

Сначала реши сам на бумаге, потом сравни с разбором и критериями.

Вариант 1

подобие треугольников

Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 5, DC = 20, AC = 75.

ABCDM
Разбор

Углы DCM и BAM равны как накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей AC; углы DMC и BMA равны как вертикальные. Значит, треугольники DMC и BMA подобны по двум углам.

AM / MC = AB / CD = 5 / 20. Пусть MC = x, тогда AM = 14x и AC = AM + MC = 54x = 75, откуда x = 60.

Содержание критерияБаллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ2
Решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Ответ: 60

Вариант 2

биссектриса в параллелограмме

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 27, CK = 24.

ABCDK
Разбор

∠BKA = ∠KAD как накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей AK; ∠KAD = ∠BAK, так как AK — биссектриса. Значит, ∠BKA = ∠BAK, и треугольник ABK равнобедренный: AB = BK.

AB = 27, BC = 27 + 24 = 51. Периметр: 2 · (27 + 51) = 156.

Содержание критерияБаллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ2
Решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Ответ: 156

Вариант 3

высота к гипотенузе

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C катеты AC = 6 и BC = 8, CH — высота. Найдите AH.

ABCH
Разбор

AB = √(6² + 8²) = 10. Треугольники ACH и ABC подобны (общий угол A, прямые углы), поэтому AC / AB = AH / AC.

AH = AC² / AB = 36 / 10 = 3,6.

Содержание критерияБаллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ2
Решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Ответ: 3,6

Вариант 4

параллельный отрезок

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите AM, если AB = 38, AC = 38, MN = 30.

ABCMN
Разбор

Треугольники MBN и ABC подобны: угол B общий, ∠BMN = ∠BAC как соответственные при параллельных прямых.

BM / BA = MN / AC, BM = 38 · 30 / 38 = 30. AM = AB − BM = 38 − 30 = 8.

Содержание критерияБаллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ2
Решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Ответ: 8

Вариант 5

подобие треугольников

Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 5, DC = 5, AC = 12.

ABCDM
Разбор

Углы DCM и BAM равны как накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей AC; углы DMC и BMA равны как вертикальные. Значит, треугольники DMC и BMA подобны по двум углам.

AM / MC = AB / CD = 5 / 5. Пусть MC = x, тогда AM = 1x и AC = AM + MC = 2x = 12, откуда x = 6.

Содержание критерияБаллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ2
Решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Ответ: 6

Вариант 6

биссектриса в параллелограмме

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 11, CK = 11.

ABCDK
Разбор

∠BKA = ∠KAD как накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей AK; ∠KAD = ∠BAK, так как AK — биссектриса. Значит, ∠BKA = ∠BAK, и треугольник ABK равнобедренный: AB = BK.

AB = 11, BC = 11 + 11 = 22. Периметр: 2 · (11 + 22) = 66.

Содержание критерияБаллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ2
Решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Ответ: 66

Вариант 7

высота к гипотенузе

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C катеты AC = 8 и BC = 15, CH — высота. Найдите AH.

ABCH
Разбор

AB = √(8² + 15²) = 17. Треугольники ACH и ABC подобны (общий угол A, прямые углы), поэтому AC / AB = AH / AC.

AH = AC² / AB = 64 / 17 = 64/17.

Содержание критерияБаллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ2
Решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Ответ: 64/17

Вариант 8

подобие треугольников

Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 12, DC = 48, AC = 35.

ABCDM
Разбор

Углы DCM и BAM равны как накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей AC; углы DMC и BMA равны как вертикальные. Значит, треугольники DMC и BMA подобны по двум углам.

AM / MC = AB / CD = 12 / 48. Пусть MC = x, тогда AM = 14x и AC = AM + MC = 54x = 35, откуда x = 28.

Содержание критерияБаллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ2
Решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Ответ: 28

Вариант 9

параллельный отрезок

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите AM, если AB = 8, AC = 28, MN = 3,5.

ABCMN
Разбор

Треугольники MBN и ABC подобны: угол B общий, ∠BMN = ∠BAC как соответственные при параллельных прямых.

BM / BA = MN / AC, BM = 8 · 3,5 / 28 = 1. AM = AB − BM = 8 − 1 = 7.

Содержание критерияБаллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ2
Решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Ответ: 7

Вариант 10

биссектриса в параллелограмме

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 27, CK = 17.

ABCDK
Разбор

∠BKA = ∠KAD как накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей AK; ∠KAD = ∠BAK, так как AK — биссектриса. Значит, ∠BKA = ∠BAK, и треугольник ABK равнобедренный: AB = BK.

AB = 27, BC = 27 + 17 = 44. Периметр: 2 · (27 + 44) = 142.

Содержание критерияБаллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ2
Решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Ответ: 142

Для самостоятельного решения

Варианты 11–15 без разборов. Ответ можно проверить кнопкой.

Вариант 11

высота к гипотенузе

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C катеты AC = 9 и BC = 12, CH — высота. Найдите AH.

ABCH

Вариант 12

подобие треугольников

Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 15, DC = 30, AC = 72.

ABCDM

Вариант 13

параллельный отрезок

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите AM, если AB = 40, AC = 40, MN = 23.

ABCMN

Вариант 14

биссектриса в параллелограмме

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 25, CK = 11.

ABCDK

Вариант 15

подобие треугольников

Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 14, DC = 42, AC = 32.

ABCDM