Нужно упростить формулу, построить график с выколотыми точками или модулем и найти значения m, при которых прямая y = m имеет с графиком заданное число общих точек.
Вариант 1
x|x| с выколотой точкойПостройте график функции
y = (x² + 3x)|x|x + 3.
Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.
Для самопроверки введите значения m через точку с запятой, например: −2,25; 4.
Разбор
Область определения: x ≠ −3. Сократим дробь: x(x + 3)|x|x + 3 = x|x| при x ≠ −3.
При x ≥ 0 график — ветвь параболы y = x², при x < 0 — ветвь y = −x². Из графика выколота точка (−3; −9).
Функция y = x|x| принимает все значения, но значение −9 достигается только в выколотой точке. Поэтому прямая y = m не имеет с графиком общих точек при m = −9.
| Содержание критерия | Баллы |
|---|
| График построен верно, верно найдены искомые значения параметра | 2 |
| График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: m = −9
Вариант 2
парабола с двумя выколотыми точкамиПостройте график функции
y = x⁴ − 17x² + 16(x − 1)(x + 4).
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.
Для самопроверки введите значения m через точку с запятой, например: −2,25; 4.
Разбор
Разложим числитель: (x² − 1)(x² − 16) = (x − 1)(x + 1)(x − 4)(x + 4). При x ≠ 1, x ≠ −4 дробь равна (x + 1)(x − 4) = x² − 3x − 4.
График — парабола с вершиной (1,5; −6,25) без точек (1; −6) и (−4; 24).
Прямая y = m имеет с параболой ровно одну общую точку, если проходит через вершину (m = −6,25), или если одна из двух точек пересечения выколота: m = −6 и m = 24.
| Содержание критерия | Баллы |
|---|
| График построен верно, верно найдены искомые значения параметра | 2 |
| График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: m = −6,25; m = −6; m = 24
Вариант 3
функция с модулемПостройте график функции
y = x² − 2|x| + 1.
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Ответ содержит промежуток — сверьте его с разбором.
Разбор
При x ≥ 0: y = x² − 2x + 1 — парабола с вершиной (1; 0); при x < 0: y = x² + 2x + 1 — вершина (−1; 0). График симметричен относительно оси y, в точке (0; 1) — «излом».
Ровно две общие точки: через обе вершины (m = 0) и выше точки излома (m > 1); между ними — четыре точки, при m = 1 — три.
| Содержание критерия | Баллы |
|---|
| График построен верно, верно найдены искомые значения параметра | 2 |
| График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: m = 0; m > 1
Вариант 4
парабола с двумя выколотыми точкамиПостройте график функции
y = x⁴ − 25x² + 144(x − 3)(x + 4).
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.
Для самопроверки введите значения m через точку с запятой, например: −2,25; 4.
Разбор
Разложим числитель: (x² − 9)(x² − 16) = (x − 3)(x + 3)(x − 4)(x + 4). При x ≠ 3, x ≠ −4 дробь равна (x + 3)(x − 4) = x² − 1x − 12.
График — парабола с вершиной (0,5; −12,25) без точек (3; −6) и (−4; 8).
Прямая y = m имеет с параболой ровно одну общую точку, если проходит через вершину (m = −12,25), или если одна из двух точек пересечения выколота: m = −6 и m = 8.
| Содержание критерия | Баллы |
|---|
| График построен верно, верно найдены искомые значения параметра | 2 |
| График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: m = −12,25; m = −6; m = 8
Вариант 5
x|x| с выколотой точкойПостройте график функции
y = (x² + 3x)|x|x + 3.
Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.
Для самопроверки введите значения m через точку с запятой, например: −2,25; 4.
Разбор
Область определения: x ≠ −3. Сократим дробь: x(x + 3)|x|x + 3 = x|x| при x ≠ −3.
При x ≥ 0 график — ветвь параболы y = x², при x < 0 — ветвь y = −x². Из графика выколота точка (−3; −9).
Функция y = x|x| принимает все значения, но значение −9 достигается только в выколотой точке. Поэтому прямая y = m не имеет с графиком общих точек при m = −9.
| Содержание критерия | Баллы |
|---|
| График построен верно, верно найдены искомые значения параметра | 2 |
| График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: m = −9
Вариант 6
функция с модулемПостройте график функции
y = x² − 2|x| − 1.
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Ответ содержит промежуток — сверьте его с разбором.
Разбор
При x ≥ 0: y = x² − 2x − 1 — парабола с вершиной (1; −2); при x < 0: y = x² + 2x − 1 — вершина (−1; −2). График симметричен относительно оси y, в точке (0; -1) — «излом».
Ровно две общие точки: через обе вершины (m = −2) и выше точки излома (m > -1); между ними — четыре точки, при m = -1 — три.
| Содержание критерия | Баллы |
|---|
| График построен верно, верно найдены искомые значения параметра | 2 |
| График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: m = −2; m > −1
Вариант 7
парабола с двумя выколотыми точкамиПостройте график функции
y = x⁴ − 17x² + 16(x − 4)(x + 1).
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.
Для самопроверки введите значения m через точку с запятой, например: −2,25; 4.
Разбор
Разложим числитель: (x² − 16)(x² − 1) = (x − 4)(x + 4)(x − 1)(x + 1). При x ≠ 4, x ≠ −1 дробь равна (x + 4)(x − 1) = x² + 3x − 4.
График — парабола с вершиной (−1,5; −6,25) без точек (4; 24) и (−1; −6).
Прямая y = m имеет с параболой ровно одну общую точку, если проходит через вершину (m = −6,25), или если одна из двух точек пересечения выколота: m = 24 и m = −6.
| Содержание критерия | Баллы |
|---|
| График построен верно, верно найдены искомые значения параметра | 2 |
| График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: m = −6,25; m = −6; m = 24
Вариант 8
x|x| с выколотой точкойПостройте график функции
y = (x² − 2x)|x|x − 2.
Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.
Для самопроверки введите значения m через точку с запятой, например: −2,25; 4.
Разбор
Область определения: x ≠ 2. Сократим дробь: x(x − 2)|x|x − 2 = x|x| при x ≠ 2.
При x ≥ 0 график — ветвь параболы y = x², при x < 0 — ветвь y = −x². Из графика выколота точка (2; 4).
Функция y = x|x| принимает все значения, но значение 4 достигается только в выколотой точке. Поэтому прямая y = m не имеет с графиком общих точек при m = 4.
| Содержание критерия | Баллы |
|---|
| График построен верно, верно найдены искомые значения параметра | 2 |
| График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: m = 4
Вариант 9
функция с модулемПостройте график функции
y = x² − 2|x| + 2.
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
Для самопроверки введите значения m через точку с запятой, например: −2,25; 4.
Разбор
При x ≥ 0: y = x² − 2x + 2 — парабола с вершиной (1; 1); при x < 0: y = x² + 2x + 2 — вершина (−1; 1). График симметричен относительно оси y, в точке (0; 2) — «излом».
Ровно три общие точки — когда прямая проходит через точку излома: m = 2.
| Содержание критерия | Баллы |
|---|
| График построен верно, верно найдены искомые значения параметра | 2 |
| График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: m = 2
Вариант 10
парабола с двумя выколотыми точкамиПостройте график функции
y = x⁴ − 25x² + 144(x − 4)(x + 3).
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.
Для самопроверки введите значения m через точку с запятой, например: −2,25; 4.
Разбор
Разложим числитель: (x² − 16)(x² − 9) = (x − 4)(x + 4)(x − 3)(x + 3). При x ≠ 4, x ≠ −3 дробь равна (x + 4)(x − 3) = x² + 1x − 12.
График — парабола с вершиной (−0,5; −12,25) без точек (4; 8) и (−3; −6).
Прямая y = m имеет с параболой ровно одну общую точку, если проходит через вершину (m = −12,25), или если одна из двух точек пересечения выколота: m = 8 и m = −6.
| Содержание критерия | Баллы |
|---|
| График построен верно, верно найдены искомые значения параметра | 2 |
| График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: m = −12,25; m = −6; m = 8
Вариант 11
функция с модулемПостройте график функции
y = x² − 2|x| − 3.
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Ответ содержит промежуток — сверьте его с разбором.
Вариант 12
x|x| с выколотой точкойПостройте график функции
y = (x² − 1x)|x|x − 1.
Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.
Для самопроверки введите значения m через точку с запятой, например: −2,25; 4.
Вариант 13
парабола с двумя выколотыми точкамиПостройте график функции
y = x⁴ − 20x² + 64(x − 4)(x + 2).
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.
Для самопроверки введите значения m через точку с запятой, например: −2,25; 4.
Вариант 14
функция с модулемПостройте график функции
y = x² − 2|x| − 1.
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
Для самопроверки введите значения m через точку с запятой, например: −2,25; 4.
Вариант 15
парабола с двумя выколотыми точкамиПостройте график функции
y = x⁴ − 25x² + 144(x − 4)(x + 3).
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.
Для самопроверки введите значения m через точку с запятой, например: −2,25; 4.