Задачи на растворы, движение и работу. Нужно составить уравнение или систему, решить и обосновать ответ.
Имеются два сосуда, содержащие 6 кг и 15 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 62 % кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 65 % кислоты. Сколько процентов кислоты содержится в первом растворе?
Разбор
Пусть концентрация кислоты в первом сосуде c1 %, во втором c2 %. Масса кислоты не меняется при сливании, поэтому:
6c1 + 15c2 = 21 · 62, c1 + c2 = 2 · 65.
Из второго уравнения c2 = 130 − c1. Подставим: 6c1 + 15(130 − c1) = 1302, откуда −9c1 = −648, c1 = 72.
| Содержание критерия | Баллы |
|---|
| Ход решения задачи верный, получен верный ответ | 2 |
| Верно составлена математическая модель задачи, однако решение до конца не доведено или содержит ошибки ИЛИ решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: 72
Вариант 2
движение по рекеМоторная лодка прошла против течения реки 30 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 1,25 ч меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Разбор
Пусть скорость лодки x км/ч (x > 1). Против течения она шла 30/(x − 1) ч, по течению 30/(x + 1) ч:
30/(x − 1) − 30/(x + 1) = 1,25; 60 = 1,25(x² − 1); x² = 49; x = 7 (отрицательный корень не подходит).
Проверка: 30/6 − 30/8 = 5 − 3,75 = 1,25 ч.
| Содержание критерия | Баллы |
|---|
| Ход решения задачи верный, получен верный ответ | 2 |
| Верно составлена математическая модель задачи, однако решение до конца не доведено или содержит ошибки ИЛИ решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: 7
Первая труба пропускает на 8 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 96 литров она заполняет на 5 минут дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объёмом 112 литров?
Разбор
Пусть первая труба пропускает x л/мин, вторая — (x + 8) л/мин. Время: 96/x и 112/(x + 8) минут.
96/x − 112/(x + 8) = 5. Умножим на x(x + 8): 96(x + 8) − 112x = 5x(x + 8), 5x² + 56x − 768 = 0.
Корни: −19,2; 8. Скорость положительна — x = 8.
Проверка: 96/8 − 112/16 = 12 − 7 = 5.
| Содержание критерия | Баллы |
|---|
| Ход решения задачи верный, получен верный ответ | 2 |
| Верно составлена математическая модель задачи, однако решение до конца не доведено или содержит ошибки ИЛИ решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: 8
Вариант 4
движение: половины путиИз пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 6 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 56 км/ч, в результате чего прибыл в B одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 45 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Разбор
Пусть длина пути 2s, скорость первого x км/ч. Время первого 2s/x, второго s/(x − 6) + s/56. Приравниваем и делим на s:
2/x = 1/(x − 6) + 1/56. Умножим на x(x − 6)·56: 2·56(x − 6) = 56x + x(x − 6), то есть x² − 62x + 672 = 0.
Корни: 14; 48. По условию скорость больше 45 км/ч, поэтому x = 48.
Проверка: 1/42 + 1/56 = 1/24 = 2/48.
| Содержание критерия | Баллы |
|---|
| Ход решения задачи верный, получен верный ответ | 2 |
| Верно составлена математическая модель задачи, однако решение до конца не доведено или содержит ошибки ИЛИ решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: 48
Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 44 % кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 41 % кислоты. Сколько процентов кислоты содержится в первом растворе?
Разбор
Пусть концентрация кислоты в первом сосуде c1 %, во втором c2 %. Масса кислоты не меняется при сливании, поэтому:
10c1 + 16c2 = 26 · 44, c1 + c2 = 2 · 41.
Из второго уравнения c2 = 82 − c1. Подставим: 10c1 + 16(82 − c1) = 1144, откуда −6c1 = −168, c1 = 28.
| Содержание критерия | Баллы |
|---|
| Ход решения задачи верный, получен верный ответ | 2 |
| Верно составлена математическая модель задачи, однако решение до конца не доведено или содержит ошибки ИЛИ решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: 28
Вариант 6
движение по рекеМоторная лодка прошла против течения реки 35 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 0,3125 ч меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Разбор
Пусть скорость лодки x км/ч (x > 1). Против течения она шла 35/(x − 1) ч, по течению 35/(x + 1) ч:
35/(x − 1) − 35/(x + 1) = 0,3125; 70 = 0,3125(x² − 1); x² = 225; x = 15 (отрицательный корень не подходит).
Проверка: 35/14 − 35/16 = 2,5 − 2,1875 = 0,3125 ч.
| Содержание критерия | Баллы |
|---|
| Ход решения задачи верный, получен верный ответ | 2 |
| Верно составлена математическая модель задачи, однако решение до конца не доведено или содержит ошибки ИЛИ решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: 15
Первая труба пропускает на 3 литра воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 60 литров она заполняет на 4 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объёмом 77 литров?
Разбор
Пусть первая труба пропускает x л/мин, вторая — (x + 3) л/мин. Время: 60/x и 77/(x + 3) минут.
60/x − 77/(x + 3) = 4. Умножим на x(x + 3): 60(x + 3) − 77x = 4x(x + 3), 4x² + 29x − 180 = 0.
Корни: −11,25; 4. Скорость положительна — x = 4.
Проверка: 60/4 − 77/7 = 15 − 11 = 4.
| Содержание критерия | Баллы |
|---|
| Ход решения задачи верный, получен верный ответ | 2 |
| Верно составлена математическая модель задачи, однако решение до конца не доведено или содержит ошибки ИЛИ решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: 4
Имеются два сосуда, содержащие 20 кг и 25 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 33 % кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 34 % кислоты. Сколько процентов кислоты содержится в первом растворе?
Разбор
Пусть концентрация кислоты в первом сосуде c1 %, во втором c2 %. Масса кислоты не меняется при сливании, поэтому:
20c1 + 25c2 = 45 · 33, c1 + c2 = 2 · 34.
Из второго уравнения c2 = 68 − c1. Подставим: 20c1 + 25(68 − c1) = 1485, откуда −5c1 = −215, c1 = 43.
| Содержание критерия | Баллы |
|---|
| Ход решения задачи верный, получен верный ответ | 2 |
| Верно составлена математическая модель задачи, однако решение до конца не доведено или содержит ошибки ИЛИ решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: 43
Вариант 9
движение: половины путиИз пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 14 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 99 км/ч, в результате чего прибыл в B одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 45 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Разбор
Пусть длина пути 2s, скорость первого x км/ч. Время первого 2s/x, второго s/(x − 14) + s/99. Приравниваем и делим на s:
2/x = 1/(x − 14) + 1/99. Умножим на x(x − 14)·99: 2·99(x − 14) = 99x + x(x − 14), то есть x² − 113x + 2772 = 0.
Корни: 36; 77. По условию скорость больше 45 км/ч, поэтому x = 77.
Проверка: 1/63 + 1/99 = 2/77 = 2/77.
| Содержание критерия | Баллы |
|---|
| Ход решения задачи верный, получен верный ответ | 2 |
| Верно составлена математическая модель задачи, однако решение до конца не доведено или содержит ошибки ИЛИ решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: 77
Вариант 10
движение по рекеМоторная лодка прошла против течения реки 105 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 ч меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Разбор
Пусть скорость лодки x км/ч (x > 2). Против течения она шла 105/(x − 2) ч, по течению 105/(x + 2) ч:
105/(x − 2) − 105/(x + 2) = 3; 420 = 3(x² − 4); x² = 144; x = 12 (отрицательный корень не подходит).
Проверка: 105/10 − 105/14 = 10,5 − 7,5 = 3 ч.
| Содержание критерия | Баллы |
|---|
| Ход решения задачи верный, получен верный ответ | 2 |
| Верно составлена математическая модель задачи, однако решение до конца не доведено или содержит ошибки ИЛИ решение в целом верное, но содержит несущественные недостатки или вычислительные ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: 12
Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 96 литров она заполняет на 16 минут дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объёмом 112 литров?
Имеются два сосуда, содержащие 15 кг и 30 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 46 % кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 40 % кислоты. Сколько процентов кислоты содержится в первом растворе?
Вариант 13
движение: половины путиИз пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 10 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 84 км/ч, в результате чего прибыл в B одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 45 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Вариант 14
движение по рекеМоторная лодка прошла против течения реки 72 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 1,2 ч меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 74 % кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 67 % кислоты. Сколько процентов кислоты содержится в первом растворе?