ОГЭ по математике · задание 20

Уравнения, системы и неравенства (часть 2)

Задание с развёрнутым ответом: решите уравнение, систему или неравенство и запишите решение полностью.

Как оформлять

  • Записывайте все преобразования; ответ — в конце, отдельной строкой.
  • Проверяйте область допустимых значений: знаменатель не равен нулю.

Приёмы

  • Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю.
  • Группировка: x³ + ax² − bx − ab = (x + a)(x² − b).
  • Биквадратное — замена t = x², t ≥ 0.
  • Неравенства — метод интервалов.

Критерии

  • 2 балла — обоснованно получен верный ответ.
  • 1 балл — вычислительная ошибка, дальше всё верно.

Разобранные варианты

Сначала реши сам на бумаге, потом сравни с разбором и критериями.

Вариант 1

система уравнений

Решите систему уравнений

(x + 5)(y − 6) = 0,
y − 7x + y − 10 = 2.

Это задание с развёрнутым ответом: сверьте своё решение и ответ с разбором и критериями.

Разбор

Из первого уравнения: x = −5 или y = 6.

При x = −5 второе уравнение: y − 7 = 2(y − 15), откуда y = 23; знаменатель x + y − 10 при этом не равен нулю.

При y = 6 второе уравнение: −1 = 2(x − 4), откуда x = 3,5; знаменатель не равен нулю.

Содержание критерияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Решение доведено до конца, но допущены вычислительные ошибки, с их учётом дальнейшие шаги выполнены верно1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Ответ: (−5; 23); (3,5; 6)

Вариант 2

группировка

Решите уравнение

x³ − 7x² = 16x − 112

Для самопроверки введите все корни через точку с запятой, например: −2; 3.

Разбор

Перенесём всё влево и сгруппируем: x²(x − 7) − 16(x − 7) = 0, (x − 7)(x² − 16) = 0.

x = 7 или x² = 16, то есть x = ±4.

Содержание критерияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Решение доведено до конца, но допущены вычислительные ошибки, с их учётом дальнейшие шаги выполнены верно1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Ответ: −4; 4; 7

Вариант 3

биквадратное

Решите уравнение

x⁴ − 13x² + 36 = 0

Для самопроверки введите все корни через точку с запятой, например: −2; 3.

Разбор

Замена t = x², t ≥ 0: t² − 13t + 36 = 0, корни t = 4 и t = 9 (по теореме Виета).

x² = 4, x = ±2; x² = 9, x = ±3.

Содержание критерияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Решение доведено до конца, но допущены вычислительные ошибки, с их учётом дальнейшие шаги выполнены верно1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Ответ: −3; −2; 2; 3

Вариант 4

неравенство

Решите неравенство

(x + 9)² ≥ 2(x + 9)

Это задание с развёрнутым ответом: сверьте своё решение и ответ с разбором и критериями.

Разбор

Перенесём всё влево и вынесем общий множитель: (x + 9)(x + 9 − 2) ≥ 0.

Корни множителей: x = −9 и x = −7. Метод интервалов: произведение отрицательно между корнями и неотрицательно вне этого промежутка (с концами).

Содержание критерияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Решение доведено до конца, но допущены вычислительные ошибки, с их учётом дальнейшие шаги выполнены верно1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Ответ: (−∞; −9] ∪ [−7; +∞)

Вариант 5

система уравнений

Решите систему уравнений

(x − 5)(y − 2) = 0,
y + 8x + y − 4 = 1.

Это задание с развёрнутым ответом: сверьте своё решение и ответ с разбором и критериями.

Разбор

Из первого уравнения: x = 5 или y = 2.

При x = 5 второе уравнение: y + 8 = (y + 1), то есть y + 8 = y + 1 — решений нет.

При y = 2 второе уравнение: 10 = (x − 2), откуда x = 12; знаменатель не равен нулю.

Содержание критерияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Решение доведено до конца, но допущены вычислительные ошибки, с их учётом дальнейшие шаги выполнены верно1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Ответ: (12; 2)

Вариант 6

группировка

Решите уравнение

x³ − 7x² = 16x − 112

Для самопроверки введите все корни через точку с запятой, например: −2; 3.

Разбор

Перенесём всё влево и сгруппируем: x²(x − 7) − 16(x − 7) = 0, (x − 7)(x² − 16) = 0.

x = 7 или x² = 16, то есть x = ±4.

Содержание критерияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Решение доведено до конца, но допущены вычислительные ошибки, с их учётом дальнейшие шаги выполнены верно1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Ответ: −4; 4; 7

Вариант 7

биквадратное

Решите уравнение

x⁴ − 5x² − 36 = 0

Для самопроверки введите все корни через точку с запятой, например: −2; 3.

Разбор

Замена t = x², t ≥ 0: t² − 5t − 36 = 0, корни t = 9 и t = -4 (по теореме Виета).

t = -4 < 0 — не подходит.

x² = 9, x = ±3.

Содержание критерияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Решение доведено до конца, но допущены вычислительные ошибки, с их учётом дальнейшие шаги выполнены верно1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Ответ: −3; 3

Вариант 8

система уравнений

Решите систему уравнений

(x − 8)(y + 1) = 0,
y − 1x + y − 10 = 2.

Это задание с развёрнутым ответом: сверьте своё решение и ответ с разбором и критериями.

Разбор

Из первого уравнения: x = 8 или y = −1.

При x = 8 второе уравнение: y − 1 = 2(y − 2), откуда y = 3; знаменатель x + y − 10 при этом не равен нулю.

При y = −1 второе уравнение: −2 = 2(x − 11), откуда x = 10; знаменатель не равен нулю.

Содержание критерияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Решение доведено до конца, но допущены вычислительные ошибки, с их учётом дальнейшие шаги выполнены верно1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Ответ: (8; 3); (10; −1)

Вариант 9

неравенство

Решите неравенство

(x + 4)² ≥ 5(x + 4)

Это задание с развёрнутым ответом: сверьте своё решение и ответ с разбором и критериями.

Разбор

Перенесём всё влево и вынесем общий множитель: (x + 4)(x + 4 − 5) ≥ 0.

Корни множителей: x = −4 и x = 1. Метод интервалов: произведение отрицательно между корнями и неотрицательно вне этого промежутка (с концами).

Содержание критерияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Решение доведено до конца, но допущены вычислительные ошибки, с их учётом дальнейшие шаги выполнены верно1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Ответ: (−∞; −4] ∪ [1; +∞)

Вариант 10

группировка

Решите уравнение

x³ − 7x² = 4x − 28

Для самопроверки введите все корни через точку с запятой, например: −2; 3.

Разбор

Перенесём всё влево и сгруппируем: x²(x − 7) − 4(x − 7) = 0, (x − 7)(x² − 4) = 0.

x = 7 или x² = 4, то есть x = ±2.

Содержание критерияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Решение доведено до конца, но допущены вычислительные ошибки, с их учётом дальнейшие шаги выполнены верно1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Ответ: −2; 2; 7

Для самостоятельного решения

Варианты 11–15 без разборов. Ответ можно проверить кнопкой.

Вариант 11

система уравнений

Решите систему уравнений

(x + 7)(y − 1) = 0,
y + 1x + y − 4 = 1.

Это задание с развёрнутым ответом: сверьте своё решение и ответ с разбором и критериями.

Вариант 12

биквадратное

Решите уравнение

x⁴ − 12x² − 64 = 0

Для самопроверки введите все корни через точку с запятой, например: −2; 3.

Вариант 13

неравенство

Решите неравенство

(x − 3)² ≥ 5(x − 3)

Это задание с развёрнутым ответом: сверьте своё решение и ответ с разбором и критериями.

Вариант 14

группировка

Решите уравнение

x³ + 9x² = 36x + 324

Для самопроверки введите все корни через точку с запятой, например: −2; 3.

Вариант 15

система уравнений

Решите систему уравнений

(x + 6)(y − 9) = 0,
y + 6x + y + 3 = 2.

Это задание с развёрнутым ответом: сверьте своё решение и ответ с разбором и критериями.