Вариант 1
прямоугольный треугольникВ треугольнике ABC угол C равен 90°, cos A = 710, AB = 50. Найдите AC.
Разбор
Косинус угла A — отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos A = AC / AB.
AC = AB · cos A = 50 · 710 = 35.
Ответ: 35
ОГЭ по математике · задание 15
Задачи на прямоугольный, равнобедренный и произвольный треугольник: тригонометрия, углы, медианы, площади.
В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos A = 710, AB = 50. Найдите AC.
Косинус угла A — отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos A = AC / AB.
AC = AB · cos A = 50 · 710 = 35.
Ответ: 35
В треугольнике ABC угол A равен 24°, угол B равен 78°, CD — биссектриса. Найдите угол ADC. Ответ дайте в градусах.
Угол C = 180° − 24° − 78° = 78°; биссектриса делит его пополам: ∠ACD = 39°.
В треугольнике ADC: ∠ADC = 180° − 24° − 39° = 117°.
Ответ: 117
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC боковая сторона AB равна 17, а основание AC равно 30. Найдите высоту BH.
Высота BH равнобедренного треугольника является медианой: AH = 30 / 2 = 15.
По теореме Пифагора BH = √(17² − 15²) = √64 = 8.
Ответ: 8
В прямоугольном треугольнике ABC катеты AC и BC равны 9 и 12. Найдите длину медианы CM, проведённой к гипотенузе.
Гипотенуза AB = √(9² + 12²) = √225 = 15.
Медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине: CM = 15 / 2 = 7,5.
Ответ: 7,5
В треугольнике ABC стороны AB и AC равны 25 и 10, а угол между ними равен 30°. Найдите площадь треугольника ABC.
S = ½ · AB · AC · sin A; sin 30° = ½.
S = ½ · 25 · 10 · ½ = 62,5.
Ответ: 62,5
В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin B = 25, AB = 50. Найдите AC.
Синус угла B — отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin B = AC / AB.
AC = AB · sin B = 50 · 25 = 20.
Ответ: 20
В треугольнике ABC угол A равен 62°, угол B равен 24°, CD — биссектриса. Найдите угол ADC. Ответ дайте в градусах.
Угол C = 180° − 62° − 24° = 94°; биссектриса делит его пополам: ∠ACD = 47°.
В треугольнике ADC: ∠ADC = 180° − 62° − 47° = 71°.
Ответ: 71
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC боковая сторона AB равна 5, а основание AC равно 6. Найдите высоту BH.
Высота BH равнобедренного треугольника является медианой: AH = 6 / 2 = 3.
По теореме Пифагора BH = √(5² − 3²) = √16 = 4.
Ответ: 4
В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos A = 113, AB = 65. Найдите AC.
Косинус угла A — отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos A = AC / AB.
AC = AB · cos A = 65 · 113 = 5.
Ответ: 5
В прямоугольном треугольнике ABC катеты AC и BC равны 8 и 15. Найдите длину медианы CM, проведённой к гипотенузе.
Гипотенуза AB = √(8² + 15²) = √289 = 17.
Медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине: CM = 17 / 2 = 8,5.
Ответ: 8,5
В треугольнике ABC стороны AB и AC равны 5 и 13, а угол между ними равен 30°. Найдите площадь треугольника ABC.
В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos A = 13, AB = 6. Найдите AC.
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC боковая сторона равна 15, а основание равно 24. Найдите площадь треугольника.
В треугольнике ABC угол A равен 92°, угол B равен 56°, CD — биссектриса. Найдите угол ADC. Ответ дайте в градусах.
В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg A = 45, AC = 20. Найдите BC.