ОГЭ по математике · задание 16
Задачи на углы, касательные, хорды и радиусы окружности.
Касательные в точках A и B к окружности с центром в точке O пересекаются под углом 78°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.
Пусть P — точка пересечения касательных. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным: ∠OAP = ∠OBP = 90°. В четырёхугольнике OAPB ∠AOB = 360° − 90° − 90° − 78° = 102°.
Треугольник AOB равнобедренный (OA = OB), поэтому ∠ABO = (180° − 102°) / 2 = 39°.
Ответ: 39
Точки A, B и C лежат на окружности с центром O. Угол ACB равен 24°, точка C лежит на большей дуге AB. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.
Центральный угол вдвое больше вписанного, опирающегося на ту же дугу: ∠AOB = 2 · 24° = 48°.
Ответ: 48
Радиус окружности равен 17, а расстояние от центра окружности до хорды равно 8. Найдите длину хорды.
Половина хорды: √(17² − 8²) = √225 = 15. Хорда: 2 · 15 = 30.
Ответ: 30
Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 40. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы, радиус равен половине гипотенузы.
Гипотенуза √(9² + 40²) = 41, радиус 41 / 2 = 20,5.
Ответ: 20,5
Через точку A окружности с центром O проведены касательная AT и хорда AB. Угол AOB равен 34°. Найдите угол TAB (точки T и B лежат по одну сторону от прямой AO). Ответ дайте в градусах.
Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой между ними: ∠TAB = 34° / 2 = 17°.
Иначе: ∠OAB = (180° − 34°) / 2 = 73°, ∠OAT = 90°, ∠TAB = 90° − 73° = 17°.
Ответ: 17
Касательные в точках A и B к окружности с центром в точке O пересекаются под углом 136°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.
Пусть P — точка пересечения касательных. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным: ∠OAP = ∠OBP = 90°. В четырёхугольнике OAPB ∠AOB = 360° − 90° − 90° − 136° = 44°.
Треугольник AOB равнобедренный (OA = OB), поэтому ∠ABO = (180° − 44°) / 2 = 68°.
Ответ: 68
Точки A, B и C лежат на окружности с центром O. Угол ACB равен 44°, точка C лежит на большей дуге AB. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.
Центральный угол вдвое больше вписанного, опирающегося на ту же дугу: ∠AOB = 2 · 44° = 88°.
Ответ: 88
Радиус окружности равен 17, длина хорды равна 30. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.
Перпендикуляр из центра делит хорду пополам: 15. Расстояние: √(17² − 15²) = √64 = 8.
Ответ: 8
Касательные в точках A и B к окружности с центром в точке O пересекаются под углом 114°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.
Пусть P — точка пересечения касательных. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным: ∠OAP = ∠OBP = 90°. В четырёхугольнике OAPB ∠AOB = 360° − 90° − 90° − 114° = 66°.
Треугольник AOB равнобедренный (OA = OB), поэтому ∠ABO = (180° − 66°) / 2 = 57°.
Ответ: 57
Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 15. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы, радиус равен половине гипотенузы.
Гипотенуза √(8² + 15²) = 17, радиус 17 / 2 = 8,5.
Ответ: 8,5
Через точку A окружности с центром O проведены касательная AT и хорда AB. Угол AOB равен 46°. Найдите угол TAB (точки T и B лежат по одну сторону от прямой AO). Ответ дайте в градусах.
Точки A, B и C лежат на окружности с центром O. Угол ACB равен 30°, точка C лежит на большей дуге AB. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.
Радиус окружности равен 17, длина хорды равна 30. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.
Касательные в точках A и B к окружности с центром в точке O пересекаются под углом 102°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.
Катеты прямоугольного треугольника равны 7 и 24. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.