ОГЭ по математике · задание 17
Параллелограмм, ромб, прямоугольник и трапеция: углы, стороны, высоты и площади.
Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол 45°. Найдите длину высоты трапеции, если её основания равны 4 и 9.
Опустим высоту CH. В равнобедренной трапеции DH = (9 − 4) / 2 = 2,5, поэтому AH = 9 − 2,5 = 6,5.
Треугольник ACH прямоугольный с углом 45°, значит, он равнобедренный: CH = AH = 6,5.
Ответ: 6,5
Один угол параллелограмма больше другого на 16°. Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах.
Соседние углы параллелограмма в сумме дают 180°. Пусть меньший угол x, тогда x + (x + 16) = 180°, x = 82°.
Больший угол 82° + 16° = 98°.
Ответ: 98
Сторона ромба равна 17, а одна из диагоналей равна 16. Найдите площадь ромба.
Половина второй диагонали: √(17² − 8²) = 15, диагональ 30.
Площадь ромба — половина произведения диагоналей: ½ · 16 · 30 = 240.
Ответ: 240
Основания трапеции равны 16 и 24, а высота равна 15. Найдите площадь трапеции.
S = ½ (a + b) · h = ½ · (16 + 24) · 15 = 300.
Ответ: 300
Стороны параллелограмма равны 22 и 8, а один из его углов равен 30°. Найдите площадь параллелограмма.
S = ab · sin α; sin 30° = ½ (у параллелограмма углы 150° и 30° имеют одинаковый синус).
S = 22 · 8 · ½ = 88.
Ответ: 88
Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол 45°. Найдите длину высоты трапеции, если её основания равны 1 и 6.
Опустим высоту CH. В равнобедренной трапеции DH = (6 − 1) / 2 = 2,5, поэтому AH = 6 − 2,5 = 3,5.
Треугольник ACH прямоугольный с углом 45°, значит, он равнобедренный: CH = AH = 3,5.
Ответ: 3,5
Сумма двух углов параллелограмма равна 168°. Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Два равных угла — противолежащие (сумма соседних равна 180°, а не 168°): каждый 84°.
Оставшиеся углы: 180° − 84° = 96°.
Ответ: 96
Сторона ромба равна 15, а одна из диагоналей равна 18. Найдите площадь ромба.
Половина второй диагонали: √(15² − 9²) = 12, диагональ 24.
Площадь ромба — половина произведения диагоналей: ½ · 18 · 24 = 216.
Ответ: 216
Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол 45°. Найдите длину высоты трапеции, если её основания равны 4 и 16.
Опустим высоту CH. В равнобедренной трапеции DH = (16 − 4) / 2 = 6, поэтому AH = 16 − 6 = 10.
Треугольник ACH прямоугольный с углом 45°, значит, он равнобедренный: CH = AH = 10.
Ответ: 10
Основания трапеции равны 3 и 8, а высота равна 10. Найдите площадь трапеции.
S = ½ (a + b) · h = ½ · (3 + 8) · 10 = 55.
Ответ: 55
Стороны параллелограмма равны 23 и 9, а один из его углов равен 30°. Найдите площадь параллелограмма.
Сторона ромба равна 29, а одна из диагоналей равна 40. Найдите площадь ромба.
Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол 45°. Найдите длину высоты трапеции, если её основания равны 1 и 16.
Один угол параллелограмма больше другого на 68°. Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах.
Основания трапеции равны 22 и 29, а высота равна 9. Найдите площадь трапеции.